Галилео Галилей (1564–1642), один из основателей точного естествознания, является основоположником науки о прочности. Он рассматривал все тела абсолютно твердыми, т.е. недеформируемыми до самого момента разрушения. Для такого подхода было много причин. В частности, он объяснялся тем, что в быту и технике того времени не было предметов, которые со всей очевидностью проявляли бы свойство упругости, т.е. таких как ластик, пружина и т.д. Труды Галилея дали толчок развитию теоретической механики, явились первым шагом к расчету тел на прочность.

В более узком смысле — это механика небесных тел, механика абсолютно твердого тела и др. Классический учебный курс теоретической механики состоит из трех разделов: статики, кинематики и динамики.

Все тела подвижны, они перемещаются вместе с Землей в Галактике, совершая вращательное и поступательное движения. Законы такого движения рассматриваются в астрономии, а в статике не учитываются, т.е. статика изучает тела, которые находятся в покое относительно Земли. В некоторых случаях статика изучает равновесие тел, которые под действием сил перемещаются друг относительно друга равномерно, без ускорения, что считается частным случаем покоя.

Кинематика и динамика рассматривают законы движения точки и тела. Учитывая, что в строительной практике здания, сооружения и отдельные конструкции под действием сил (нагрузки) должны оставаться неподвижными (во всяком случае относительно Земли), сосредоточим свое внимание только на статике. При этом в гл. 1 термин «механика» будет часто употребляться в смысле «статика» твердого тела.

1.1.1. Модель абсолютно твердого тела

Многие науки (физика, химия, астрономия и др.) изучают вполне конкретные объекты (тела, элементы, планеты и т.д.). При этом для простоты изучения и упрощения доказательств (особенно в учебных целях) эти объекты наделяются такими качествами, которые не отражают всей сложности того или иного процесса глубинных причинно-следственных связей, частных проявлений каких-либо свойств. Другими словами, рассматривается не сам объект (предмет, явление), а идеализированное представление о нем. Как правило, оно сводится к некой упрощенной модели, в которой не учитываются отдельные свойства, незначительно влияющие (но тем не менее имеющие место) на конечные рассуждения, доказательства, выводы. В статике в целях упрощения расчетов и доказательств в качестве объекта изучения рассматриваются тела, которые являются абсолютно твердыми.

Что же представляет собой модель абсолютно твердого тела?

Все реальные тела деформируемы. Например, цилиндрический (или призматический) стержень, выполненный из любого материала, удлиняется под действием растягивающей силы или укорачивается под действием сжимающей силы, сохраняя в целом первоначальную форму (рис. 1.1, а). Тело может изменить свою форму и под действием сил, вызывающих изгиб. Так, прямолинейный до приложения нагрузки стержень или брус становится криволинейным после ее приложения (рис. 1.1, б). Конечно, в разных материалах и телах, состоящих из них, под действием одной и той же силы по-разному проявляются деформации. Кроме того, они порой настолько малы, что требуют специальных измерительных приборов.

Абсолютно твердое тело, рассматриваемое в статике, считается недеформируемым, т.е. не изменяет своих размеров и формы под действием сил.

Деформации тел и количественная их оценка являются предметом изучения механики абсолютно упругого тела, теории пластичности и других разделов механики и иных дисциплин. В этом смысле механика абсолютно твердого тела (далее — механика твердого тела) является элементарной теорией по сравнению с перечисленными ранее. Считается, что пренебрежение деформациями, принятое в механике твердого тела, незначительно отражается на точности расчетов при рассмотрении условий равновесия тел. Строго говоря, это неправильно, но зато часто принятые упрощения дают возможность получить более простые решения при вполне приемлемых результатах с точки зрения точности.

Следствием модели абсолютно твердого тела является такое его свойство, как абсолютная прочность, т.е. неразрушаемость под действием сил. Это позволяет не заботиться о размерах сечения тела, подразумевая, что оно останется прочным при любых нагрузках. Такой взгляд также не отражает свойства реальных тел, но при этом, если не принимать во внимание вопросы прочности, которые изучаются в других дисциплинах, многие формулы и расчеты, связанные с равновесием тел, выглядят значительно проще.

Гипотеза об абсолютной твердости приводит к еще одному упрощению. Для абсолютно твердого тела невозможно указать, какой массой (плотностью) оно обладает. Поэтому абсолютно твердое тело принято считать абсолютно легким, т.е. невесомым, что также упрощает многие расчеты. Когда надо решить какую-то практическую задачу в статике, где вес тела имеет значение, его назначают либо произвольно, либо ориентируясь на реальные материалы или конструкции.

При общих рассуждениях твердое тело считается бесформенным, т.е. не имеющим определенной формы. При решении же конкретных задач ему придается форма, повторяющая форму некоторых встречающихся в практике конструкций или их частей. Наиболее часто в качестве твердого тела рассматривается призматический прямолинейный брус.

Частным случаем бруса является стержень. Между брусом и стержнем не установлено четких различий, но все же считается, что стержень — призматический или цилиндрический (рис. 1.2, б) — имеет еще меньшие размеры поперечного сечения по сравнению с брусом. Брус может быть прямолинейным или криволинейным (рис. 1.2, в), сплошным или полым (рис. 1.2, г), замкнутым или не замкнутым по контуру сечения — фасонным (рис. 1.2, д) и т.д.

Массив — это тело, у которого все размеры одного порядка. Массив (тело) может быть правильной (рис. 1.3, а) или неправильной (рис. 1.3, б) геометрической формы.

Статика в качестве частного случая тела часто рассматривает твердые фигуры (плоскости), которые, как правило, являются каким-либо сечением тела. Они могут иметь форму известных геометрических фигур (рис. 1.4, а) или их комбинации (рис. 1.4, б).

Особую группу составляют специальные профили, широко распространенные в строительной практике.

Характеристики профилей проката приведены в табл. 1–3 приложения I. Несмотря на все многообразие форм тел и фигур с точки зрения статики все они являются абсолютно твердыми.

В некоторых случаях тело может быть заменено материальной точкой (рис. 1.5).

С классификацией строительных конструкций по геометрическому признаку можно ознакомиться в [2, с. 13–15].

1.1.2. Сила и проекция силы на ось. Система сил

В быту понятие силы ассоциируется с физическими усилиями, например при подъеме или перемещении груза. В статике твердого тела рассматривается взаимодействие одного тела с другим (или другими), в результате которого по плоскости (поверхности) или в точках их контакта (соприкосновения) возникает давление одного тела на другое или отрыв одного тела от другого, если они связаны между собой. Давление и отрыв — наиболее простые виды взаимодействия тел. Существуют и более сложные виды, о которых будет сказано далее.

В отличие от самих тел увидеть силы нельзя, происходит «незримый конфликт» между телами. На практике величину силы можно определить с помощью динамометров, датчиков и т.д. В теоретических исследованиях величину силы можно найти с помощью рассуждений, которые приводят к установлению некоторых математических зависимостей. Получение таких зависимостей является одной из главных задач статики.

Сила характеризуется числовым значением, направлением и точкой приложения (рис. 1.6, а), т.е. представляет собой векторную величину, как, например, скорость (рис. 1.6, б) или ускорение (рис. 1.6, в).

Графически силу изображают направленным отрезком прямой, т.е. отрезком со стрелкой (вектором), при этом указывают точку приложения силы. Длина отрезка измеряется в масштабе сил (например, 1 см — 1 Н или 1 см — 10 Н и т.д.), равна числовому значению (величине) силы и называется модулем силы, а направление стрелки указывает направление действия силы. При решении некоторых задач может вызывать интерес линия действия силы, которая представляет собой прямую, проведенную между точками начала и конца вектора силы (рис. 1.6, г).

Если говорят о силе как о векторе, т.е. хотят подчеркнуть все три ее характеристики, то, как правило, ее обозначают прописной жирной буквой F (от англ. Force — сила) с черточкой сверху, а если говорят только о модуле силы, или ее величине, то обозначают ее обычной (светлой) буквой F без черточки. Далее в тексте черточку над F, обозначающую вектор, ставить не будем. На то, что речь идет о векторе, будет указывать набор буквы жирным шрифтом.

Задачи сложения и вычитания векторов более сложные, чем те же действия с их модулями. Они будут рассмотрены далее.

Способы решения задач, связанных с действием сил, можно разделить на графические и аналитические. Они будут рассматриваться во всех подразделах учебника. Для решения некоторых задач будет использован графоаналитический способ.

В прямоугольной системе координат x–0–y проекция силы как вектора на координатную ось x (0–x) или y (0–y) равна произведению величины (модуля) этой силы на косинус острого угла между ее направлением и координатной осью соответственно x или y. Проекция силы F на ось x обозначается F_x, а на ось y — F_y. Если сила и соответствующая координатная ось направлены в одну сторону, то проекция силы имеет знак «плюс», а если в разные стороны — «минус».

При определении проекций могут использоваться не только острые углы и не только косинусы, а например, синусы, но приведенный подход является наиболее простым и наглядным.

Пример 1.1. Определить проекции сил F₁, F₂, F₃, F₄ на оси x и y (рис. 1.7), если F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = 50 Н.

Решение. F_x1 = −F₁cos0° = −F₁·1 = −F₁ = −50 Н;

F_y1 = F₁cos90° = F₁·0 = 0;

F_x2 = F₂cos0° = F₂·1 = F₂ = 50 Н;

F_y2 = F₂cos90° = F₂·0 = 0;

F_x3 = F₃cos90° = F₃·0 = 0;

F_y3 = F₃cos0° = F₃·1 = F₃ = 50 Н;

F_x4 = F₄cos90° = F₄·0 = 0;

F_y4 = −F₄cos0° = −F₄·1 = −F₄ = −50 Н.

Пример 1.2. Определить проекции сил F₁, F₂, F₃ и F₄ на оси x и y (рис. 1.8), если F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = 100 Н.

Решение. F_x1 = F₁cos30° = F₁·0,866 = 100·0,866 = 86,6 Н;

F_y1 = F₁cos60° = F₁·0,5 = 100·0,5 = 50 Н;

F_x2 = −F₂cos45° = −F₂·0,707 = −100·0,707 = −70,7 Н;

F_y2 = F₂cos45° = F₂·0,707 = 100·0,707 = 70,7 Н;

F_x3 = −F₃cos60° = −F₃·0,5 = −100·0,5 = −50 Н;

F_y3 = −F₃cos30° = −F₃·0,866 = −100·0,866 = −86,6 Н;

F_x4 = F₄cos30° = F₄·0,866 = 100·0,866 = 86,6 Н;

F_y4 = −F₄cos60° = −F₄·0,5 = −100·0,5 = −50 Н.

Чаще всего при рассмотрении взаимодействия тел приходится иметь дело не с одной, а с несколькими силами. Две силы и более, действующие на тело, образуют систему сил. Подробнее системы сил рассмотрены в подразд. 1.1.5.

Силы, о которых шла речь до сих пор, принято называть сосредоточенными, так как они прикладываются к телу в одной точке. Но силы могут быть не сосредоточенными, а распределенными (рис. 1.9). Такие силы являются сосредоточенными лишь на очень маленьких расстояниях друг от друга. Они могут быть равномерно и неравномерно распределенными по длине или по площади. В данном учебнике мы будем рассматривать равномерно распределенные нагрузки по длине тела. Таким телом обычно бывает брус. Интенсивность распределенной нагрузки по длине может меняться на отдельных участках, но в пределах каждого из них она чаще всего равномерная (рис. 1.9, в). В отличие от сосредоточенных нагрузок распределенные по длине нагрузки обозначают буквой q. Они имеют размерность в виде отношения силы к единице длины (Н/см, кН/м и др.).

1.1.3. Аксиомы статики о действии сил на твердое тело

Аксиомы можно рассматривать как отправные или базовые знания, которые используются в дальнейшем для решения задач. Отсутствие необходимости доказательства аксиом (в отличие от теорем или законов) обусловлено совершенной очевидностью рассуждений и выводов, вытекающих из наблюдений за теми или иными явлениями в многообразной жизненной практике. Аксиомы можно подтвердить постановкой специальных опытов.

Рассмотрим те аксиомы, которые справедливы при удовлетворении следующих условий:

1) все тела считаются абсолютно твердыми (см. подразд. 1.1.1);

2) все тела находятся в состоянии покоя или равномерного движения под действием сил. Такое состояние твердого тела называют равновесием. Его изучают в разделе механики абсолютно твердого тела, называемом статикой;

3) все силы являются векторными величинами и на них распространяются правила действия над векторами.

Аксиом о действии сил на твердое тело, или аксиом статики, немало, они подробно изложены в [6]. Ограничимся рассмотрением только трех из них, которые имеют наибольшее значение для задач статики.

Аксиома 1 — закон равенства сил действия и противодействия. Из курса физики известно, что если два тела механически воздействуют друг на друга (давят друг на друга или отрываются друг от друга), то в точке или поверхности контакта возникают силы, равные по величине (модулю) и направленные по одной прямой в противоположные стороны.

Например, силы F₁₂ и F₂₁ (рис. 1.10) — силы действия соответственно первого тела на второе и второго на первое — ведут себя именно так. Эти силы приложены к разным телам (или возникают в двух разных телах), и механическое действие одного тела равно такому же противодействию другого, при этом тела находятся в равновесии. Увеличение одной силы (или увеличение силы давления одного тела на другое) обязательно ведет к такому же увеличению другой. Если давления нет, то обе силы равны нулю.

Аксиома 2 — условие равновесия твердого тела под действием двух сил. В аксиоме 1 говорилось о характере взаимодействия двух тел. Теперь рассмотрим действие двух сил на одно твердое тело. Аксиома 2 утверждает, что свободное твердое тело, на которое действуют две силы F₁ и F₂, равные по величине и направленные по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.12, а, б), будет находиться в равновесии, т.е. в состоянии покоя или равномерного движения, если в таком состоянии оно находилось до приложения сил.

Несмотря на некоторую схожесть аксиом 1 и 2 (и в той, и в другой говорится о двух силах, которые равны между собой и направлены в разные стороны по одной прямой) между ними есть принципиальное отличие: в первой равные силы приложены к двум разным телам, а во второй — к одному телу.

Твердое тело, на которое действуют две равные силы, будет находиться в равновесии при сформулированных ранее условиях; при этом не имеет значения, в каких точках по линии действия сил последние приложены (рис. 1.12, в). Это утверждение можно считать следствием из аксиомы 2. Строго говоря, следствия нуждаются в доказательстве. Доказательство данного следствия приведено в [6]. Будем считать аксиоматичным следующее следствие: действие силы на тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия в любую точку тела. Это обстоятельство дает возможность изображать точку приложения силы за пределами тела.

Аксиома 3 — правило параллелограмма сил. Действующие на тело силы могут быть направлены не только по одной прямой, но и под углом друг к другу, причем под любым. Силы, которые являются векторными величинами, можно складывать и вычитать по правилам сложения и вычитания векторов. Об этом подробно говорится в подразд. 1.2. Аксиома 3 гласит: равнодействующая двух сил, приложенных к твердому телу в одной точке под углом друг к другу, равна по величине (модулю) и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.14, а).

Речь идет о сложении двух векторов, геометрической суммой которых является также вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на двух силах. В этом случае тело не будет находиться в равновесии. Для достижения равновесия в соответствии с аксиомой 2 необходимо приложить силу, равную по величине силе R_равн и направленную в противоположную сторону (рис. 1.14, б). Такая сила называется уравновешивающей R_уравн.

1.1.4. Момент силы относительно точки. Пара сил

До сих пор мы рассматривали тела, которые под действием сил стремились совершить поступательное движение, а другие тела препятствовали этому.

На практике часто встречаются случаи, когда силы вызывают не поступательное, а вращательное движение тела вокруг какой-то оси (рис. 1.16, а). Статика твердого тела не изучает законы вращательного движения, она изучает случаи, когда силы стремятся повернуть тело, но при этом оно остается неподвижным. Причин того, что тело остается неподвижным при действии стремящихся его повернуть сил, в реальных конструкциях может быть несколько, например такая сила трения в оси, которую внешняя сила не может преодолеть, или такая масса тела, что величины внешней силы недостаточно для создания вращательного движения, или препятствие вращательному движению со стороны других внешних сил и т.д.

В идеальных телах и связях, которые считаются невесомыми и в которых отсутствуют силы трения, неподвижность тела обеспечивается приложением к нему каких-то связей, например опорных стержней, прикрепляющих рассматриваемое тело к основанию (на рис. 1.16, а они не показаны). При этих условиях внешние силы создают вращательный эффект, но тело остается неподвижным. Величина вращательного эффекта (действия) оценивается моментом силы относительно точки (оси).

Момент силы обозначают буквой M и в общем случае определяют по формуле

M_O = ± Fh.

При этом обязательно указывается, относительно какой точки определяется момент (в нашем случае относительно точки O).

Если сила стремится повернуть брус (тело) по часовой стрелке относительно рассматриваемой точки тела, то момент считается положительным (перед ним ставят знак «плюс», хотя чаще всего этот знак опускают), а если против часовой, то отрицательным (перед ним ставят знак «минус»).

Аналогичный вращательный эффект (действие) может оказывать на тело пара сил.

Воздействие пары сил на тело показано на рис. 1.17, а. Оно схоже с воздействием одной силы относительно оси (см. рис. 1.16, а), но имеются существенные отличия.

Одиночная сила может оказывать вращательное воздействие на тело только при наличии какой-то связи, например шарнира или оси. Если таких связей нет, то она вызывает поступательное движение тела.

Пара сил оказывает вращательное воздействие на совершенно свободное тело, чего не может сделать сосредоточенная сила. Кроме того, пара сил создает вращательный эффект, абсолютно одинаковый для любой точки тела, а момент силы зависит от точки, относительно которой он определяется.

Сила и пара сил являются первичными (простейшими) силовыми воздействиями на тело. Пары, как и силы, можно складывать, вычитать, а также выполнять другие действия над ними, которые изучаются в теории пар. Мы ограничимся только приведенными здесь сведениями.

Момент пары определяется точно так же, как и момент силы относительно точки, т.е. как произведение величины (модуля) одной из сил на кратчайшее расстояние между линиями их действия (рис. 1.17, б, в). Правило знаков при этом такое же, как для момента силы относительно оси (точки).

Из определений момента силы относительно точки и момента пары сил следует, что эти моменты измеряются с единицах, представляющих собой произведение единицы силы на единицу длины. В системе СИ это Н·м, кН·м и т.д.

Еще раз обратим внимание на сходство и различие между парой сил и моментом силы относительно точки. На рис. 1.18, а показано действие пары сил на свободное тело. Эта пара стремится повернуть тело по часовой стрелке с моментом пары, равным Fh. Если тело закрепить на какой-то воображаемой оси, проходящей через точку O, расположенную в середине расстояния между силами (рис. 1.18, б), то пара сил превращается в эквивалентную систему двух сил, каждая из которых стремится повернуть тело относительно этой точки O. Очевидно, что момент двух сил относительно точки O будет равен моменту пары сил:

Fh = Fh/2 + Fh/2.

Когда на тело действует система сил или пар сил, вызывающих его вращение, то для оценки общего вращательного эффекта находят их алгебраическую сумму, которую общепринято обозначать греческой буквой ∑ (сигма):

∑M_O = M₁ + M₂ + M₃ + … + M_n,

или

∑M_O = F₁h₁ + F₂h₂ + F₃h₃ + … + F_nh_n.

Момент силы и пара сил могут изображаться так, как показано на рис. 1.19, а, б, но чаще их изображают так, как показано на рис. 1.19, в, г.

Пример 1.3. Определите сумму моментов сил F₁, F₂, F₃ и F₄ относительно точки O (рис. 1.20), если F₁ = 5 кН, F₂ = 6 кН, F₃ = 2 кН, F₄ = 1 кН, h₁ = 4 м, h₂ = 3 м.

Решение. Находим плечи для сил F₃ и F₄:

Определяем сумму моментов сил:

Ответ: ∑M_O = −8 кН·м.

Пример 1.4. Определите сумму моментов пар сил (рис. 1.21), если F₁ = 1 кН, F₂ = 5 кН, F₃ = 3 кН, F₄ = 4 кН, h₁ = 3,5 м, h₂ = 0,5 м, h₃ = 1,5 м, h₄ = 2,5 м.

Решение. Определяем сумму моментов пар:

Ответ: ∑M = −4,5 кН·м.

1.1.5. Свободные и несвободные тела. Связи и их реакции

Тела могут быть свободными и несвободными.

Законы движения тел или точек под действием сил рассматриваются в других разделах теоретической механики.

В статике твердого тела как разделе механики рассматриваются несвободные тела.

Тела, которые препятствуют тем или иным перемещениям рассматриваемого тела, называют связями. Различают реальные и идеальные связи. При реальных связях присутствует трение в местах контакта тел. Кроме того, эти связи могут деформироваться, быть податливыми и т.д. Эти явления трудно, а порой и невозможно точно учесть, т.е. дать им количественную оценку. Поэтому в статике, которая является элементарной теорией, вводится понятие идеальной связи. В модели идеальной связи заложены два упрощения: во-первых, сами связи являются абсолютно твердыми и неподвижными, во-вторых, в месте контакта тел отсутствует трение. Иначе говоря, трением просто пренебрегают, в результате чего многие практические задачи, связанные с равновесием тел, решаются значительно более простыми способами при вполне приемлемой точности расчетов.

В статике твердого тела рассматриваются только идеальные связи, за исключением тех случаев, когда трение является предметом самостоятельного изучения.

Рассматриваемое тело непосредственно или другими способами воздействует на связи.

Определение нагрузок является порой довольно сложной задачей. Такие задачи рассматривают в специальных дисциплинах «Строительные конструкции», «Детали машин» и др. В статике активные силы (или нагрузки) считаются всегда заданными, за редким исключением, когда их можно найти путем несложных вычислений.

Тела воздействуют на связи, но и связи, со своей стороны, как бы ответно воздействуют на тела своими усилиями.

Внутренние усилия в связях, например в стержнях и нитях, являются внешними по отношению к рассматриваемому телу и удерживающими его в равновесии.

Активные силы принято обозначать буквой F, как и силы вообще, но в учебной литературе для них могут использоваться символы P и G. Реактивные силы (реакции) принято обозначать буквами R, V и H, а внутренние усилия — буквой N, реже S.

Определение величины и направления действия реакций связей и внутренних усилий составляет одну из главных задач статики твердого тела.

Наиболее простыми и в то же время широко распространенными идеальными связями являются:

• гладкая плоскость (поверхность);
• гибкая нить;
• плоский (простой) шарнир;
• прямолинейный стержень;
• опорные стержни и опоры, состоящие из них (шарнирно подвижная опора, шарнирно неподвижная опора, жесткая заделка).

Рассмотрим подробнее каждую из них, а также реакции (или усилия), которые в них возникают.

Гладкая плоскость. Идеально гладкая плоскость как связь (рис. 1.23, а) препятствует перемещению рассматриваемого тела в направлении, перпендикулярном данной плоскости. При этом тело передает на плоскость силу давления F, которая является активной силой (рис. 1.23, б).

Плоскость не дает возможности перемещаться телу в направлении, перпендикулярном данной плоскости, но не препятствует перемещениям в других направлениях, так как считается, что трение тела по такой плоскости отсутствует, т.е. тело может как бы скользить по ее поверхности. Данную плоскость изображают сплошной линией со штриховкой.

Реакция идеально гладкой плоскости R перпендикулярна этой плоскости, направлена от нее в сторону тела и приложена в точке соприкосновения тел (см. рис. 1.23, б). Чаще активную и реактивную силы прикладывают к центру тяжести тела (рис. 1.23, в), используя правило переноса сил. Вместо слова «перпендикулярно» нередко употребляют слово «нормально» (от лат. normalis — прямолинейный). На рис. 1.23, б, в показаны реакции одиночной плоскости, а на рис. 1.23, г, д — комбинации из двух плоскостей. На рис. 1.23, б тело и плоскость разъединены, на остальных рисунках они изображены во взаимодействии.

Гибкая нить. Идеально гибкая нить как связь (рис. 1.24, а) не вписывается в модель абсолютно твердого тела, но мы будем рассматривать только прямолинейные ее участки, считая их недеформируемыми. Жизненный опыт подсказывает, что гибкая нить может воспринимать только растягивающие активные силы. Нить не может сопротивляться сжатию и никогда для этого не используется.

Гибкая нить испытывает только растягивающие реакции, которые для нити принято обозначать N и называть усилием в нити. Это усилие всегда направлено по оси нити в сторону от груза или тела, наделенного весом (рис. 1.24, б). Нить изображают одной сплошной жирной линией. Тело может удерживаться в равновесии с помощью двух нитей (рис. 1.24, в) и, следовательно, двух усилий (рис. 1.24, г).

Плоский шарнир. Плоский шарнир, который часто называют цилиндрическим, как правило, соединяет две точки разных (двух или более) тел. Чаще всего он используется для прикрепления тела к основанию.

Шарнир представляет собой связь, которая дает возможность рассматриваемому телу поворачиваться относительно основания (или другого тела) благодаря наличию оси, но не позволяет телу (рис. 1.25, а) или брусу (рис. 1.25, б) перемещаться по горизонтали, вертикали и в любом другом направлении.

Шарнир не исключает вращательного движения тела, т.е. сам по себе не обеспечивает его полной неподвижности. Чтобы тело оставалось неподвижным, шарнир должен быть дополнен еще какой-то связью, например стержнем или нитью. На чертежах шарнир изображают кружком, изредка внутри кружка ставят точку, имея в виду ось вращения.

Реакция шарнира R направлена в сторону, противоположную направлению активной силы F, стремящейся разъединить тела, или оторвать рассматриваемое тело от основания (рис. 1.25, в).

Прямолинейный стержень. Идеально прямой стержень в качестве связи препятствует перемещению соединяемых тел по направлению его оси. Стержни могут быть призматическими, цилиндрическими, трубчатыми и другого поперечного сечения, но графически их изображают так, как показано на рис. 1.26, а или б. Об отличии между стержнем и брусом говорилось в подразд. 1.1.1.

Шарнир считается идеальным, т.е. в нем отсутствует трение. Стержень является жесткой связью и в отличие от нити может воспринимать не только растягивающие (рис. 1.27, а), но и сжимающие силы (рис. 1.27, б). Это обстоятельство обусловило широкое распространение стержней в строительной практике.

При рассмотрении систем, состоящих из стержней, иногда можно сразу сказать, что испытывает каждый стержень: сжатие или растяжение. Примером может служить система, показанная на рис. 1.28, а. Однако в большинстве случаев, особенно при отсутствии опыта расчета, установить это сложнее, даже для простой системы, как на рис. 1.28, б. Поэтому в прямолинейном стержне реакцию, или усилие, которое, как и для нити, обозначают буквой N, всегда совмещают с его осью, а направление показывают произвольно (см. рис. 1.28).

Заключение о правильности принятого направления усилия можно сделать, только выполнив расчет. Чаще всего до расчета стержни считают растянутыми, т.е. реакции направляют от узла (или груза), а после решения уравнений равновесия, о которых будет сказано далее, проверяют, правильно или нет было выбрано направление усилия.

Опорные стержни и состоящие из них опоры. Опорный стержень как связь представляет собой частный случай прямолинейного стержня, рассмотренного ранее, т.е. он имеет прямолинейный участок и по концам шарниры. Отличие между указанными стрежнями чисто функциональное: прямолинейные стержни образуют геометрически неизменяемые системы, в которых нагрузки прикладываются в узлах, а опорные стержни предназначены для того, чтобы обеспечить неподвижность тела.

Примеры крепления тел к основанию с помощью опорных стрежней приведены на рис. 1.29.

Не останавливаясь пока на доказательной части, скажем, что наименьшее число опорных стержней, которые могут обеспечить неподвижность телу, — три. Это видно на рис. 1.29.

Имея три опорных стержня, их следует располагать определенным образом.

Нельзя, чтобы все они были параллельными или пересекались в одной точке. Системы с таким расположением стержней называются мгновенно изменяемыми (рис. 1.30). Они недопустимы в качестве конструкций. Подробнее правила расстановки опорных стержней изложены в [4].

Шарнирной опору называют потому, что она допускает поворот тела (как видно на рис. 1.31, а, сечение a–b может повернуться на некоторый угол φ), а подвижной потому, что она допускает какое-то горизонтальное (точнее, по дуге окружности) перемещение тела влево или вправо в зависимости от направления действия внешних сил. Такая опора исключает единственное перемещение вдоль оси стержня (ни вверх, ни вниз). Следовательно, в шарнирно-подвижной опоре возникает одна опорная реакция R по направлению опорного стержня.

При показанном на рис. 1.31, б направлении нагрузки реакция направлена вертикально вверх. Она может быть и не вертикальной, как видно на рис. 1.31, в, но всегда направлена по оси опорного стержня.

Шарнирной опору называют потому, что она допускает поворот тела (как и шарнирно-подвижная), а неподвижной потому, что она не допускает никаких перемещений тела (ни горизонтальных, ни вертикальных).

Следовательно, в шарнирно-неподвижной опоре возникают две реакции (правильнее, две составляющие одной реакции R): вертикальная, обозначаемая буквой V, и горизонтальная, обозначаемая буквой H (рис. 1.32, б). Шарнирно-неподвижную опору можно изображать так, как показано на рис. 1.32, в. С точки зрения возможных перемещений и реакций такая опора полностью эквивалентна опоре, изображенной на рис. 1.32, а.

Призматический брус, опирающийся на одну шарнирно-неподвижную и одну шарнирно-подвижную опоры, принято называть простой балкой.

Обратим внимание на возможные обозначения реакций для простой балки (рис. 1.33). При действии на балку произвольно-расположенных сил на опоре A возникают вертикальная V_A и горизонтальная H_A составляющие. Они могут быть заменены одной реакцией R_A (рис. 1.33, б), которая является равнодействующей двух составляющих H_A и V_A (см. аксиому 3). При действии на балку только вертикальных сил реакции опор будут тоже вертикальными V_A и V_B, а H_A = 0. При этом чаще V_A и V_B заменяют соответственно на R_A и R_B.

Брус (балка) может быть прикреплен к основанию с помощью трех стержней не только, как показано на рис. 1.33, а,  т.е. стержни не обязательно должны располагаться по обоим концам бруса. Они могут находиться на небольшом расстоянии друг от друга около одного из концов бруса (рис. 1.34, а).

Такое прикрепление также обеспечивает неподвижность бруса (тела); при этом опору, на которой собраны все стержни, называют жесткой, а остающийся неприкрепленным конец бруса — свободным.

Балка с жестким защемлением на одном конце называется консолью. Ее часто изображают так, как показано на рис. 1.34, в. В заделке консоли возникают три реакции: вертикальная V, горизонтальная H и момент M, называемый опорным.

Опоры могут располагаться не строго по концам балки, а на каком-то расстоянии от них, как правило на расстоянии, не очень большом по сравнению с ее длиной l (обычно от l/10 до l/5). Участки балки, расположенные за пределами опор, называются консольными. Балки с такими опорами называются одно- или двухконсольными (рис. 1.35).

Наименьшее число стержней, с помощью которых можно прикрепить тело к основанию, обеспечивающей неподвижность,— три. Равновесие таких тел (или балок) будет рассмотрено далее в этой главе.

При меньшем числе опорных стержней неподвижность тела не обеспечивается и такие случаи в статике не рассматриваются. При большем, чем три, числе опорных стержней задачи не могут быть решены с помощью уравнений равновесия статики твердого тела. Такие задачи называются статически неопределимыми и рассматриваются в гл. 2.

1.1.6. Сходства и отличия идеальных и реальных связей

Классическая механика имеет дело с идеальными связями, главными признаками которых являются абсолютная твердость и отсутствие трения (из-за этого они и называются идеальными). В реальных материалах и конструкциях свойство твердости проявляется по-разному; достаточно сравнить, например, сталь и дерево. Кроме того, в связях обязательно присутствует трение, которое стараются уменьшить с помощью смазок и масел, а в некоторых случаях, наоборот, увеличить за счет неровностей поверхности. Это зависит от поставленной задачи.

Рассмотрим отличия и сходства идеальных и реальных связей.

Идеально гладкая плоскость. В нашей жизни такую плоскость больше всего напоминает поверхность катка или ледяной горки. В технике сложнее отыскать простой и понятный пример такой плоскости. В частности, им может служить наклонная плоскость, по которой затаскивают груз. Силу трения на ней стараются уменьшить подбором материалов, подготовкой поверхностей и т.д.

Гибкая нить. Примерами такой связи из нашего быта являются нитка, веревка, проволока, а из техники — трос, цепь. При рассмотрении небольшого крышного крана особенно хорошо видно сходство идеальной гибкой связи с тросом реальной конструкции (рис. 1.37).

Шарнир. Бытовым примером этой связи является дверная петля, называемая дверным шарниром (рис. 1.38, а, б). Такой шарнир дает возможность двери поворачиваться вокруг его оси, но не допускает никаких перемещений. Он близок к идеальному шарниру (рис. 1.38, в).

Прямолинейный стержень. Точную и простую аналогию идеальному стержню в реальной жизни найти сложно. С определенными оговорками примером может служить подкос (подпорка) столба электропередачи (рис. 1.39, а).

В реальных конструкциях, как правило, трудно обеспечить идеальное шарнирное присоединение столба или стойки к другим конструкциям. Грунт (особенно при небольшом заглублении) и стальные скобы податливы, поэтому вполне могут рассматриваться как шарниры, хотя и не совсем идеальные. Однако при определенных оговорках реальные столбы (или колонны) можно заменить на стержни (рис. 1.39, б).

Опорный стержень. С некоторой степенью условности такой стержень напоминает дверной крючок в закрытом состоянии (рис. 1.40, а), если обеспечить плотное соединение его с петлями (или пренебречь податливостью соединений — рис. 1.40, б).

Шарнирно-подвижная и шарнирно-неподвижная опоры. Такие опоры могут быть реализованы в реальных конструкциях многими способами. Рассмотрим простейший пример опирания железобетонной балки на кирпичные стены (рис. 1.41, а).

Из схемы деформированной балки (рис. 1.41, б) видно, что концы балки поворачиваются свободно, т.е. обе опоры являются шарнирными. Левая опора препятствует как горизонтальному, так вертикальному перемещениям, поэтому в ней возникают две реакции (H_A и V_A) и она эквивалентна неподвижной опоре (рис. 1.41, в), которую правильнее изображать так, как показано на рис. 1.41, г. Правая опора препятствует только вертикальному перемещению и (если пренебречь трением) соответствует подвижной опоре. В ней возникает одна-единственная вертикальная реакция V_B.

Таким образом, балка находится в равновесии под действием активных сил и реакций опор. Ее идеализированное изображение приведено на рис. 1.41, д. С более подробным и строгим обоснованием перехода от реальной схемы к идеальной можно ознакомиться в [2, гл. 4].

Жесткое замещение. Консоль. Такому соединению полностью соответствует балконная плита или козырек над входом (рис. 1.42, а). На рис. 1.42, б видно, что сечение плиты a–b по грани стены не поворачивается от действия нагрузки, а из рис. 1.42, в следует, что плита удерживается в равновесии благодаря трем составляющим реакций: V_A, H_A и V_A. Это в точности соответствует идеальному защемлению. Часто такую опору изображают с реакциями H_A, V_A и M_A (рис. 1.42, г).

1.1.7. Классификация систем сил в статике

Силы и другие воздействия, например моментные, как правило, действуют не в одиночку, а в совокупности, образуя некоторую систему. Не останавливаясь на теоретических подходах к оценке действия на тело системы сил (таких как принцип независимости действия сил и ряд других), рассмотрим наиболее распространенные случаи действия на тело системы сил.

Плоские системы сил. К ним относятся система сходящихся сил и система произвольно расположенных сил. Силы системы сходящихся сил лежат в одной плоскости, причем все они (или линии их действия) пересекаются в одной точке (рис. 1.43). Если хоть одна из сил не проходит через общую точку пересечения остальных сил в рассматриваемой плоскости, то данная система не является системой сходящихся сил, а относится к какой-то другой системе.

Особенностью системы сходящихся сил является то, что в ней отсутствуют моментные и распределенные нагрузки. Это наиболее простой и очень распространенный случай действия сил.

В системе произвольно расположенных сил, как и в системе сходящихся сил, силы лежат (расположены) в одной плоскости. Среди них могут быть отдельные группы сил, пересекающихся в одной точке или в разных точках, а некоторые могут вообще не пересекаться (см. далее рис. 1.59, а).

В такой системе могут присутствовать распределенные моментные нагрузки, которых, как и сил, может быть несколько. Это очень распространенный тип действия сил (нагрузок) на тело в практических задачах.

Пространственные системы сил. Как уже упоминалось, эти системы также подразделяются на систему сходящихся сил в пространстве, т.е. не лежащих в одной плоскости, но пересекающихся в одной точке (см. далее рис. 1.125), и систему произвольно расположенных сил в пространстве, т.е. не лежащих в одной плоскости и не пересекающихся в одной точке (см. далее рис. 1.126).

Эти системы реже встречаются в строительной практике, более сложны для расчета, поэтому будут описаны кратко.

В каждой из систем могут быть частные случаи с точки зрения числа сил, расположения их друг относительно друга и т.д. Например, могут быть симметричные системы, системы, в которых все силы равны по величине или все направлены в одну сторону, или все параллельны и т.д.

Главной задачей статики является составление уравнений равновесия для каждой из систем, которые позволяют найти реакции и усилия в теле (конструкции) от действия сил. Может быть решена и обратная задача, например об определении нагрузки, если известны усилия.